Question

以下關于圓錐曲線的四個命題：
①設A，B為兩個定點，k為非零常數，|

PA

|-|

PB

|=k，則動點P的軌跡是雙曲線；
②過定圓C上一定點A作圓的動弦AB，O為坐標原點，若

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)，則動點P的軌跡是圓（點A除外）；
③方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④到定點（1，0）的距離比到y軸的距離大1的動點P的軌跡是拋物線．
其中真命題的序號為

②③

（寫出三友真命題的序號）．

Answer 1

分析：命題①利用舉反例加以說明；
命題②設出定圓的方程，利用代入法分析可知AB中點P的軌跡為圓（除去A點）；
命題③求出方程的兩根即可得到答案；
命題④利用舉反例的辦法加以判斷．

解答：解：對于①，若|k|＞|AB|，則滿足|

PA

|-|

PB

|=k的動點P在實平面內不表示任何圖形，∴①不正確；
對于②，設定圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，點A（m，n），P（x，y），
由

OP

=

1

2

(

OA

+

OB

)，可知P為AB的中點，則B（2x-m，2y-n），∵AB為圓的動弦，所以B在已知圓上，
把B的坐標代入圓x²+y²+Dx+Ey+F=0得到P的軌跡仍為圓，當B與A重合時AB不是弦，∴點A除外，∴②正確；
對于③，方程2x²-5x+2=0的兩根分別為

1

2

和2，∴方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率正確；
對于④，設動點P（x，y），由題意知，x軸負半軸（含原點）上的點都滿足到定點（1，0）的距離比到y軸的距離大1，∴④不正確．
所以正確的命題是②③．
故答案為②③．

點評：本題考查了拋物線及雙曲線的定義，考查了命題的真假的判斷，要說明一個命題為真，需要嚴格的證明，要說明命題是假命題，只要舉一個反例即可，此題屬中檔題．