Question

以下是關于圓錐曲線的四個命題：
①設A、B為兩個定點，k為非零常數，若PA-PB=k，則動點P的軌跡是雙曲線；
②方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
③雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y2=1有相同的焦點；
④以過拋物線的焦點的一條弦AB為直徑作圓，則該圓與拋物線的準線相切．
其中真命題為

②③④

（寫出所以真命題的序號）．

Answer 1

分析：①不正確．若動點P的軌跡為雙曲線，則|k|要小于A、B為兩個定點間的距離；②正確．方程2x²-5x+2=0的兩根

1

2

和2可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；③正確，焦點在x軸上，焦點坐標為（±

34

，0）．④通過拋物線的性質即可說明正誤．

解答：解：①不正確．若動點P的軌跡為雙曲線，則|k|要小于A、B為兩個定點間的距離．當|k|大于A、B為兩個定點間的距離時動點P的軌跡不是雙曲線．
②正確．方程2x²-5x+2=0的兩根分別為

1

2

和2，

1

2

和2可分別作為橢圓和雙曲線的離心率．
③正確，雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y2=1有相同的焦點，焦點在x軸上，焦點坐標為（±

34

，0）；
④正確；不妨設拋物線為標準拋物線：y²=2px （p＞0 ），即拋物線位于Y軸的右側，以X軸為對稱軸．
設過焦點的弦為PQ，PQ的中點是M，M到準線的距離是d．
而P到準線的距離d₁=|PF|，Q到準線的距離d₂=|QF|．
又M到準線的距離d是梯形的中位線，故有d=

|PF|+|QF|

2

，
由拋物線的定義可得：

|PF|+|QF|

2

=

|PQ|

2

=半徑．
所以圓心M到準線的距離等于半徑，
所以圓與準線是相切．
故答案為：②③④

點評：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征，考查橢圓和雙曲線的基本性質，解題時要準確理解概念，基本知識的理解與應用，屬于中檔題．