Question

【題目】設函數f（x）= ﹣2x+ln（x+1）（m∈R）．
（Ⅰ）判斷x=1能否為函數f（x）的極值點，并說明理由；
（Ⅱ）若存在m∈[﹣4，﹣1），使得定義在[1，t]上的函數g（x）=f（x）﹣ln（x+1）+x3在x=1處取得最大值，求實數t的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）定義域為（﹣1，+∞）， ，令f'（1）=0，得 ； 當 時， ，當x∈ 和（1，+∞）時，f′（x）＞0，當x∈ 時f′（x）＜0，
于是f（x）在 單調遞增，在 單調遞減，在（1，+∞）單調遞增．
故當 時，x=1是f（x）的極小值點；
（Ⅱ） ．
由題意，當x∈[1，t]時，g（x）≤g（1）恒成立，
易得 ，令 ，
∵h（x）必然在端點處取得最大值，即h（t）≤0
即 ，即 ，
∵m∈[﹣4，﹣1），∴ ，解得， ，
所以t的最大值為
【解析】（Ⅰ）由f′（1）=0，求得m的值，將m的值代入f（x）解析式中，求出函數f（x）的單調區間，看f（x）在x=1的兩側的單調性是否相反，如果相反則x=1是函數f（x）的極值點；（Ⅱ）由題意知，g（x）﹣g（1）≤0在[1，t]上恒成立，構造函數 ，根據m的范圍求出t的取值范圍，得出t的最大值．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．