Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（I）求CD₁與平面ADD₁A₁所成角；
（II）求證：CD₁∥平面A₁BD；
（III）求證：平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD．

Answer 1

分析：（I）直接根據CD⊥平面ADD₁A₁，DD₁為斜線CD₁在平面ADD₁A₁上的射影，得到∠CD₁D即為所求，然后在等腰直角三角形CDD₁中求出∠CD₁D即可；
（II）先根據A₁D₁∥BC且A₁D₁=BC，得到A₁D₁CB為平行四邊形⇒D₁C∥A₁B，即可得到結論；
（III）先根據AA₁⊥平面ABCD，得到AA₁⊥BD；再結合BD⊥AC可得BD⊥平面A₁ACC₁，進而證明結論．

解答：解：（I）因為CD⊥平面ADD₁A₁，DD₁為斜線CD₁在平面ADD₁A₁上的射影，
則∠CD₁D即為所求．
在等腰直角三角形CDD₁中可得，∠CD₁D=45°．
（II）證明：因為A₁D₁∥BC且A₁D₁=BC，所以A₁D₁CB為平行四邊形，
所以D₁C∥A₁B且D₁C?平面A₁BD，
所以D₁C∥平面A₁BD．
（III）證明：因為AA₁⊥平面ABCD，所以AA₁⊥BD，
又因為BD⊥AC，AA₁∩AC=A，
所以BD⊥平面A₁ACC₁，
又BD?平面A₁BD，
所以平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁．

點評：本題主要考查線面所成的角，線面平行以及面面垂直．是對立體幾何知識的綜合考查，屬于綜合題目．