Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點P在平面DD₁C₁C內，PD₁=PC₁=

2

．求證：
（1）平面PD₁A₁⊥平面D₁A₁BC；
（2）PC₁∥平面A₁BD．

Answer 1

分析：（1）證明A₁D₁⊥PD₁，PD₁⊥D₁C，可得PD₁⊥平面D₁A₁BC，利用面面垂直的判定定理，可得結論；
（2）證明PC₁∥A₁B，利用線面平行的判定定理，可得結論．

解答：證明：（1）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，∴A₁D₁⊥平面DCC₁D₁，
又點P在平面DD₁C₁C內，∴A₁D₁⊥PD₁．
∵PD1=PC1=

2

，且正方體的棱長為2，∴PD₁⊥D₁C，
又D₁C∩A₁D₁=D₁，…（2分）
∴PD₁⊥平面D₁A₁BC，
又PD₁?平面PD₁A₁，
∴平面PD₁A₁⊥平面D₁A₁BC．        …（4分）
（2）由（1）得，PC₁∥D₁C，又D₁C∥A₁B，∴PC₁∥A₁B．                  …（6分）
又PC₁?平面A₁BD，A₁B?平面A₁BD，∴PC₁∥平面A₁BD．                  …（8分）

點評：本題考查面面垂直、線面平行的判定定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．