Question

如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA底面ABCD，PA=AB=，點E是棱PB的中點。（1）求直線AD與平面PBC的距離。
（2）若AD=，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。

Answer 1

見解析

（1）如圖（1），在矩形ABCD中，AD∥BC，從而AD∥平面PBC，故直線AD與平面PBC的
距離為點A到平面PBC的距離（2分）。因為PA⊥AB，由PA=AB知  PAB為等腰直角三角形，又點E是棱PB的中點，故AE⊥PB，又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB在底面ABCD內和射影，由三垂線定理得BC⊥PB，從而BC⊥PAB（4分）。故BC⊥AE，從而AE⊥平面PBC，故AE的長即為直線AD與平面PBC的距離，在RtPAB中，PA=AB=，所以。……………………………………6`
（2）過點D作DF⊥CE，交CE于F，過點F作FG⊥CE，交AC于G，則∠DFG為所求的二面角的平面角。……………………………………………8`
由（1）知BC⊥平面PAB，又AD⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，從而DE=。
在RtCBE中，.由CD=，知CDE為等邊三角形，故F為CE的中點，且
因為AE⊥平面PBC，故AE⊥CE。又FG⊥CE，知從而，且G點為AC的中點，連接DG，則在中，…………………………………………10`
所以 
所以二面角A-EC-D的平面角的余弦值為。…………………………12`
解法2：（1）如圖（2），以A為坐標原點，
射線AB、AD、AP分別為軸、軸、軸
正半軸，建立空間直角坐標系A-。
設………2`
因此，，
則所以AE⊥平面PBC。………4`
又由AD∥BC加AD∥平面PBC，故直線AD與平面PBC的距離為點A到平面PBC的距離，即為………6`
（2）因為
設平面AEC的法向量
又
所以…………8`
設平面DEC的法向量
則
又故
所以……………………10`
故…………12`
所以三角形A-EC-D的平面角的余弦值為。