Question

【題目】設函數(shù)f（x）=x3+bx2+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求b，c的值．
（Ⅱ）求g（x）的單調區(qū)間與極值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=x3+bx2+cx，∴f'（x）=3x2+2bx+c．
從而g（x）=f（x）﹣f'（x）=x3+bx2+cx﹣（3x2+2bx+c）=x3+（b﹣3）x2+（c﹣2b）x﹣c
是一個奇函數(shù)，所以g（0）=0得c=0，由奇函數(shù)定義得b=3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）=x3﹣6x，從而g'（x）=3x2﹣6，
當g'（x）＞0時，x＜﹣或x＞，
當g'（x）＜0時，﹣＜x＜，
由此可知和是函數(shù)g(x的單調遞增區(qū)間；(-,)是函數(shù)g(x)的單調遞減區(qū)間；
g（x）在x=-時取得極大值，極大值為4，g（x）在x=時取得極小值，極小值為-4．
【解析】（1）根據(jù)g（x）=f（x）﹣f'（x）是奇函數(shù)，且f'（x）=3x2+2bx+c能夠求出b與c的值．
（2）對g（x）進行求導，g'（x）＞0時的x的取值區(qū)間為單調遞增區(qū)間，g'（x）＜0時的x的取值區(qū)間為單調遞減區(qū)間．g'（x）=0時的x函數(shù)g（x）取到極值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數(shù)奇偶性的性質(在公共定義域內，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇)．