Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側面為正三角形，且面面， 分別為棱的中點.

（1）求證： 平面；

（2）（文科）求三棱錐的體積；

（理科）求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（文） （理）

【解析】試題分析：（1）取中點,連結，由三角形中位線定理可得且，再由已知可得且，從而得到是平行四邊形，則，然后利用線面平行的判定定理可得面；（2）取中點，連結，由面面垂直的性質可得面，且，求出到面距離，然后利用等積法求得三棱錐的體積；（3）連交于，可得，得到，進一步證得，可得是二面角的平面角，然后求解直角三角形可得二面角的正切值.

試題解析：

（1）證明：取PD中點G，連結GF、AG，

∵GF為△PDC的中位線，∴GF∥CD且，

又AE∥CD且，∴GF∥AE且GF=AE，

∴EFGA是平行四邊形，則EF∥AG，

又EF⊥面PAD，AG⊥面PAD，

∴EF∥面PAD；

（2）（文）解：取AD中點O，連結PO，

∵面PAD⊥面ABCD，△PAD為正三角形，∴PO⊥面ABCD，且，

又PC為面ABCD斜線，F為PC中點，∴F到面ABCD距離，

故；

（理）連OB交CE于M，可得Rt△EBC≌Rt△OAB，

∴∠MEB=∠AOB，則∠MEB+∠MBE=90°，即OM⊥EC．

連PM，又由（2）知PO⊥EC，可得EC⊥平面POM，則PM⊥EC，

即∠PMO是二面角P-EC-D的平面角，

在Rt△EBC中，，∴，

∴，即二面角P-EC-D的正切值為．

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、二面角的求法、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.