Question

【題目】如圖，在三棱柱中，，，.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若平面平面，且直線與平面所成角為，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取中點，連結，,則,由線面垂直的判定定理可得,平面,由線面垂直的性質即可得證;

（Ⅱ）由平面平面及可得,，從而,設,則,易證 兩兩互相垂直,建立空間直角坐標系如圖,利用法向量求出二面角的余弦值即可.

（Ⅰ）

證明:如圖:取中點，連結，，

，，

，，為正三角形，

，，

由線面垂直的判定定理知,平面，

又平面，．

（Ⅱ）因為，所以為等邊三角形,

所以，因為平面平面,

由面面垂直的性質知,平面,

所以即為直線與平面所成角,

即，即，

設，則，，

由平面知,兩兩互相垂直，

建立空間直角坐標系如圖所示:

則，0，，，，0，，

所以，，，，0，，

設平面的一個法向量為，

則，令,則,

所以平面的一個法向量為，

因為平面的法向量為，0，，

所以，

二面角的平面角為鈍角，

二面角的余弦值為．