Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，是正方形，是中點，點在上，且.

（1）證明平面；

（2）若，求平面與平面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見詳解；(2).

【解析】

（1）根據平面，可得，再證，即可由線線垂直推證線面垂直；

（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，分別求得兩個平面的法向量，再求出夾角的余弦，轉化為正弦值即可.

（1）因為平面，平面，故可得；

設底面正方形的邊長為4，故可得，

，，

故在中，滿足，故可得；

又平面，且，

則平面，即證.

（2）因為平面,平面，故可得，

又底面為正方形，故可得，

故以為坐標原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標系如下圖所示：

設，故可得

設平面的法向量為，

則，則

取，則.

不妨取平面的法向量.

則.

設平面與平面所成二面角的平面為，

則.

即平面與平面所成二面角的正弦值為.