Question

已知離心率為的橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，雙曲線以橢圓的長軸為實軸，短軸為虛軸，且焦距為2．
（I）求橢圓及雙曲線的方程；
（Ⅱ）設橢圓的左、右頂點分別為A，B，在第二象限內取雙曲線上一點P，連結BP交橢圓于點M，連結PA并延長交橢圓于點N，若=．求四邊形ANBM的面積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設出橢圓方程和雙曲線方程，由橢圓的離心率是，雙曲線的焦距為2聯立方程組求出a和b的值，則橢圓及雙曲線的方程可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求出的橢圓方程求出A和B的坐標，設出M點的坐標，由得M為BP的中點，從而求出P點坐標，把M的坐標代入橢圓方程，把P的坐標代入雙曲線方程，聯立后求出M和P的具體值，然后把四邊形ANBM的面積轉化為三角形ANB的面積求解．
解答：解：（I）設橢圓方程為（a＞b＞0）．
則根據題意，雙曲線的方程為
，且滿足
，解方程組得
∴橢圓的方程為，雙曲線的方程；
（Ⅱ）由（I）得A（-5，0），B（5，0），|AB|=10．
設M（x，y），則由得M為BP的中點，所以P點坐標為（2x-5，2y），
將M、P坐標代入橢圓和雙曲線方程，得
，
消去y，得
解之得或x=5（舍）
所以，由此可得，
所以．
當P為時，直線PA的方程是
即．
代入，得2x²+15x+25=0
所以或-5（舍），
所以，x_N=x_M，MN⊥x軸．
所以．
點評：本題主要考查了圓錐曲線的方程，直線與圓錐曲線的位置關系的應用，考查了數學轉化思想方法，直線與圓錐曲線問題的特點是計算量比較大，要求考生具備較強的運算推理的能力，是難題．