Question

已知離心率為的橢圓的右焦點F是圓（x-1）²+y²=1的圓心，過橢圓上的動點P作圓的兩條切線分別交y軸于M、N兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）求線段MN長的最大值，并求此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據圓方程可求得圓心坐標，即橢圓的右焦點，根據橢圓的離心率進而求得a，最后根據a，b和c的關系求得b，則橢圓方程可得．
（II）P（x，y），M（0，m），N（0，n），把橢圓方程與圓方程聯立求得交點的橫坐標，進而可推斷x的范圍，把直線PM的方程化簡，根據點到直線的距離公式表示出圓心到直線PM和PN的距離．求得x和y的關系式，進而求得m+n和mn的表達式，進而求得|MN|．把點P代入橢圓方程根據弦長公式求得MN|．記，根據函數的導函數判斷函數的單調性，進而確定函數f（x）的值域，進而求得當時，|MN|取得最大值，進而求得y，則P點坐標可得．
解答：解：（I）∵圓（x-1）²+y²=1的圓心是（1，0），
∴橢圓的右焦點F（1，0），
∵橢圓的離心率是，∴
∴a²=2，b²=1，∴橢圓的方程是．

（II）設P（x，y），M（0，m），N（0，n），
由得，∴．
直線PM的方程：，
化簡得（y-m）x-xy+xm=0．
又圓心（1，0）到直線PM的距離為1，
∴，
∴（y-m）²+x²=（y-m）²+2xm（y-m）+x²m²，
化簡得（x-2）m²+2ym-x=0，
同理有（x-2）n²+2yn-x=0．
∴，，
∴=．
∵P（x，y）是橢圓上的點，∴，
∴，
記，則，時，
f'（x）＜0；時，f'（x）＜0，
∴f（x）在上單調遞減，在內也是單調遞減，
∴，
當時，|MN|取得最大值，
此時點P位置是橢圓的左頂點．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查考生分析問題、解決問題的能力．