Question

 . 已知離心率為的橢圓的右焦點(diǎn)是圓的圓心，過橢圓上的動(dòng)點(diǎn)P作圓的兩條切線分別交軸于M、N兩點(diǎn)．

（I）求橢圓的方程；

（II）求線段MN長的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ) ，  

解析:

（I）∵圓的圓心是，

∴橢圓的右焦點(diǎn) F，……………………１分

∵橢圓的離心率是，∴

∴，∴橢圓的方程是．……………………４分

（II）解法一：設(shè)，

由得，∴．…………５分

直線的方程:，

化簡得 ．

又圓心到直線的距離為1，∴ ，………………６分

∴，

化簡得， ………………………………………………７分

同理有． ……………………………………………… ８分       　　　　　　　　　　　　　         

∴，，……………………………………………………9分

∴．………………………………10分

∵是橢圓上的點(diǎn)，∴，

∴，……………………11分                          　　　　　　

記，則，

時(shí)，；時(shí)，，

∴在上單調(diào)遞減，在內(nèi)也是單調(diào)遞減，………………13分

∴，

當(dāng)時(shí)，取得最大值，

此時(shí)點(diǎn)P位置是橢圓的左頂點(diǎn)．      …………………………14分   

解法二：由得，∴．……５分

設(shè)過點(diǎn)P的圓的切線方程為，

∵圓心到直線的距離為1，

∴，化簡得，∴．…………６分

設(shè)則，…………………………8分

∴，，……………………………………9分

∴．…………………10分

∵是橢圓上的點(diǎn)，∴，

∴，………………11分                          　　　　　　

記，則，

時(shí)，；時(shí)，，

∴在上單調(diào)遞減，在內(nèi)也是單調(diào)遞減，…………13分

∴，

當(dāng)時(shí)，取得最大值，

此時(shí)點(diǎn)P位置是橢圓的左頂點(diǎn)．   ………………………………14分