Question

如圖：平面四邊形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠B=90°，∠BCD=135°，沿對角線AC將△ADC折起，使面ADC⊥面ABC，
（1）求證：AB⊥面BCD；
（2）求點C到面ABD的距離．

Answer 1

分析：（1）由AB=BC=a，∠C=135°，知∠BCA=45°，∠ACD=90°，DC⊥AC，由題知沿對角AC將四邊形折成直二面角，從而得到DC⊥平面ABC，DC⊥AB，再由∠B=90°，能夠證明AB⊥平面BCD．
（2）過點C作CE⊥BD，由（1）可知，CE⊥AB，從而得到CE⊥平面ABD，CE的長度為點C到平面ABD的距離，由此能求出點C到面ABD的距離．

解答：（1）證明：因為AB=BC=a，∠C=135°，
所以∠BCA=45°，∠ACD=90°，所以DC⊥AC，
由題知沿對角AC將四邊形折成直二面角，
所以 DC⊥平面ABC，所以DC⊥AB，
而∠B=90°，所以AB⊥BC，
故AB⊥平面BCD．
（2）解：過點C作CE⊥BD，
由（1）可知，CE⊥AB，所以CE⊥平面ABD，
∴CE的長度為點C到平面ABD的距離，
∵BC=CD=a，DC⊥BC，
∴DE=

2 a

2

．
故點C到面ABD的距離為

2 a

2

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．