Question

如圖，平面四邊形ABCD中，AB=13，AC=10，AD=5，cos∠DAC=

3

5

，

AB

•

AC

=120．
（1）求cos∠BAD；
（2）設(shè)

AC

=x•

AB

+y•

AD

，求x、y的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)∠CAB=α，∠CAD=β，由AB=13，AC=10，

AB

•

AC

=120．可得α的余弦值，又由cos∠DAC=

3

5

，分別求出兩個角的正弦值，代入兩角和的余弦公式，可得答案．
（2）若

AC

=x•

AB

+y•

AD

，則

AC • AB =x AB 2+y AD • AB AC • AD =x AB • AD +y AD 2

，結(jié)合AD=5，及（1）中結(jié)論，可得x、y值．

解答：解：（1）設(shè)∠CAB=α，∠CAD=β，
cosα=

AB • AC

| AB |•| AC |

=

120

130

=

12

13

，cosβ=

3

5

，
∴sinα=

5

13

，sinβ=

4

5

，…．（3分）
∴cos∠BAD=cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

12

13

•

3

5

-

5

13

•

4

5

=

16

65

…..（6分）
（2）由

AC

=x•

AB

+y•

AD

得：

AC • AB =x AB 2+y AD • AB AC • AD =x AB • AD +y AD 2

…．（8分）
∴

120=169x+16y 30=16x+25y

…..（10分）
解得：x=

40

63

，y=

50

63

．  …（12分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，熟練掌握平面向量夾角公式及數(shù)量積公式是解答的關(guān)鍵．