Question

【題目】設n為正整數，集合A=．對于集合A中的任意元素和，記

M（）=．

（Ⅰ）當n=3時，若， ，求M（）和M（）的值；

（Ⅱ）當n=4時，設B是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素，當相同時，M（）是奇數；當不同時，M（）是偶數．求集合B中元素個數的最大值；

（Ⅲ）給定不小于2的n，設B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同的元素，

M（）=0．寫出一個集合B，使其元素個數最多，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1) M(α，β）=1

(2) 最大值為4

(3)答案見解析

【解析】分析：（1）根據定義對應代入可得M（）和M（）的值；（2）先根據定義得M(α，α）= x1+x2+x3+x4．再根據x1，x 2，x3，x4∈{0，1}，且x1+x2+x3+x4為奇數，確定x1，x 2，x3，x4中1的個數為1或3．可得B元素最多為8個，再根據當不同時，M（）是偶數代入驗證，這8個不能同時取得，最多四個，最后取一個四元集合滿足條件，即得B中元素個數的最大值；（3）因為M（）=0，所以不能同時取1，所以取共n+1個元素，再利用A的一個拆分說明B中元素最多n+1個元素，即得結果.

詳解：解：（Ⅰ）因為α=（1，1，0），β=（0，1，1），所以

M(α，α)= [(1+1|11|)+(1+1|11|)+(0+0|00|)]=2，

M(α，β）= [(1+0–|10|)+(1+1–|1–1|)+(0+1–|0–1|)]=1．

（Ⅱ）設α=（x1，x 2，x3，x4）∈B，則M(α，α）= x1+x2+x3+x4．

由題意知x1，x 2，x3，x4∈{0，1}，且M(α，α)為奇數，

所以x1，x 2，x3，x4中1的個數為1或3．

所以B{(1，0，0，0），（0，1，0，0)，（0，0，1，0)，（0，0，0，1)，（0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}.

將上述集合中的元素分成如下四組：

（1，0，0，0)，(1，1，1，0)；（0，1，0，0)，(1，1，0，1)；（0，0，1，0)，（1，0，1，1)；（0，0，0，1)，（0，1，1，1).

經驗證，對于每組中兩個元素α，β，均有M(α，β）=1.

所以每組中的兩個元素不可能同時是集合B的元素．

所以集合B中元素的個數不超過4.

又集合{（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1)}滿足條件，

所以集合B中元素個數的最大值為4.

（Ⅲ）設Sk=( x1，x 2，…，xn）|( x1，x 2，…，xn）∈A，xk=1，x1=x2=…=xk–1=0）（k=1，2，…，n)，

Sn+1={( x1，x 2，…，xn）| x1=x2=…=xn=0}，

則A=S1∪S1∪…∪Sn+1．

對于Sk（k=1，2，…，n–1）中的不同元素α，β，經驗證，M(α，β)≥1.

所以Sk（k=1，2 ，…，n–1）中的兩個元素不可能同時是集合B的元素．

所以B中元素的個數不超過n+1.

取ek=( x1，x 2，…，xn）∈Sk且xk+1=…=xn=0（k=1，2，…，n–1）.

令B=（e1，e2，…，en–1）∪Sn∪Sn+1，則集合B的元素個數為n+1，且滿足條件.

故B是一個滿足條件且元素個數最多的集合．