Question

【題目】已知正項數列的前項和為，且.

（1）求數列的通項公式；

（2）若，數列的前項和為，求的取值范圍；

（3）若，從數列中抽出部分項（奇數項與偶數項均不少于兩項），將抽出的項按照某一順序排列后構成等差數列.當等差數列的項數最大時，求所有滿足條件的等差數列.

Answer 1

【答案】（1）（2）；（3），，，，和，，，，.

【解析】

（1）利用，求得數列的通項公式.

（2）由（1）求得的表達式，然后利用裂項求和法求得的前項和.利用差比較法證得數列遞增，進而求得的取值范圍.

（3）先判斷出數列的奇數項均為奇數，偶數項均為偶數.然后假設抽出的數列中有三個偶數，推出矛盾，由此證得偶數只有兩項.進而證得奇數最多有項.由此求得所有滿足條件的等差數列.

（1）當時，由，得，得，

由，得，兩式相減，得

，即，即

因為數列各項均為正數，所以，所以

所以數列是以為首項，為公差的等差數列.

因此，，即數列的通項公式為.

（2）由（1）知，所以

所以

所以

令，則

所以是單調遞增數列，數列遞增，

所以，又，所以的取值范圍為.

（3）

設奇數項取了項，偶數項取了項，其中，，，.

因為數列的奇數項均為奇數，偶數項均為偶數，因此，若抽出的項按照某種順序構成等差數列，則該數列中相鄰的項必定一個是奇數，一個是偶數.

假設抽出的數列中有三個偶數，則每兩個相鄰偶數的等差中項為奇數.

設抽出的三個偶數從小到大依次為，，，

則為奇數，而，，則為偶數，為奇數，所以.

又為奇數，而，，則與均為偶數，矛盾。

又因為，所以，即偶數只有兩項，

則奇數最多有項，即的最大值為.

設此等差數列為，，，，，則，，為奇數，，為偶數，且.

由，得，，此數列為，，，，.

同理，若從大到小排列，此數列為，，，，.

綜上，當等差數列的項數最大時，滿足條件的數列為，，，，和，，，，.