Question

【題目】已知橢圓C： 的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，且過點(diǎn)．

（1）求橢圓C的方程；

（2）過作兩條直線與圓相切且分別交橢圓于M、N兩點(diǎn)．

① 求證：直線MN的斜率為定值；

② 求△MON面積的最大值（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

【答案】（1）（2）① ②

【解析】試題分析：（1）先求雙曲線離心率得橢圓離心率，再將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，解方程組得，（2）①先根據(jù)點(diǎn)斜式得直線方程，再與橢圓方程聯(lián)立解得坐標(biāo)，根據(jù)直線與圓相切，得斜率相反，同理可得最后根據(jù)斜率公式求斜率，②設(shè)直線MN方程，根據(jù)原點(diǎn)到直線距離得高，與橢圓方程聯(lián)立方程組結(jié)合韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式得底邊邊長(zhǎng)，最后代入三角形面積公式，利用基本不等式求最值.

試題解析：（1）可得，設(shè)橢圓的半焦距為，所以，

因?yàn)?/span>C過點(diǎn)，所以，又，解得，

所以橢圓方程為．　　　　　　　　　　　　　

（2）① 顯然兩直線的斜率存在，設(shè)為， ，

由于直線與圓相切，則有，

直線的方程為， 聯(lián)立方程組

消去，得，　　

因?yàn)?/span>為直線與橢圓的交點(diǎn)，所以，

同理，當(dāng)與橢圓相交時(shí)， ，

所以，而，

所以直線的斜率．　　　　　　　

② 設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組消去得，

所以，

原點(diǎn)到直線的距離，　　　　　　　　

面積為，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)．經(jīng)檢驗(yàn)，存在（），使得過點(diǎn)的兩條直線與圓相切，且與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)M，N．

所以面積的最大值為．