Question

【題目】如圖，已知橢圓，直線，直線與橢圓交于不同的兩點，點和點關于軸對稱，直線與軸交于點．

（1）若點是橢圓的一個焦點，求該橢圓的長軸的長度；

（2）若，且，求的值；

（3）若，求證：為定值．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）；（3）見解析．

【解析】

（1）利用焦半徑算出后可得長軸長．

（2）設，利用可得的方程組，再利用點在橢圓上可求的坐標，從而可求直線的斜率．

（3）設，，用的坐標表示直線的方程，進而求得與的坐標的關系，同理可得與的坐標的關系，利用在橢圓上可得，從而可證為定值．

（1）因為點是橢圓的一個焦點，故焦點在軸上，所以．

又，故，從而橢圓的長軸長為4．

（2）因為，故．因為，所以．

設，則，

所以，，又，

故或，故．

（3）設，，則．

直線的方程為：，

令，則，同理，

故，

因為，故，它是一個定值．