Question

已知函數f（x）是定義域為R的偶函數，且f（x）=f（x+2），當x∈[0，1]時，f（x）=x，
（1）求x∈[2k-1，2k]（k∈Z）時，f（x）的表達式
（2）若A，B是f（x）圖象上縱坐標相等的兩點，且A，B兩點的橫坐標在[0，2]內，點C（1，0），求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設出自變量屬于要求的區間上的范圍x∈[2k-1，2k]，得到2k-x∈[0，1]，代入解析式得到f（2k-x）=2k-x，根據函數是一個偶函數，得到f（x）=f（-x）=f（-x+2）=f（-x+2k）=2k-x
（2）由（1）知當x∈[1，2]時，f（x）=2-x，函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，設出A，B兩個點的坐標，表示出三角形的面積，根據二次函數的最值得到結果．

解答：解：（1）設x∈[2k-1，2k]，k∈Z，則2k-x∈[0，1]，那么f（2k-x）=2k-x
又f（x）=f（-x）=f（-x+2）=f（-x+2k）=2k-x
∴x∈[2k-1，2k]（k∈Z）時，f（x）=2k-x（6分）
（2）由（1）當x∈[1，2]時，f（x）=2-x，函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
設A（1-t，1-t），B（1+t，1-t），其中0＜t＜1
則AB=2t，，S_△ABC=2t•（1-t）≤

1

2

即△ABC面積的最大值是

1

2

（6分）

點評：本題考查函數的圖象及圖象的變化，考查函數的解析式的求法，以及三角形的面積的最值，本題解題的關鍵是要求最值，需要先表示出最值，本題是一個中檔題目．