Question

已知函數f（x）=

2x+2-x

2

，g（x）=

2x-2-x

2

，
（1）計算：[f（1）]²-[g（1）]²；
（2）證明：[f（x）]²-[g（x）]²是定值．

Answer 1

分析：（1）直接代入計算即可：[f（1）]²-[g（1）]²=[f（1）+g（1）][f（1）-g（1）]；
（2）先利用平方差公式化得：[f（x）]²-[g（x）]²=[f（x）+g（x）][f（x）-g（x）]，再將條件整體代入即可．

解答：解：（1）[f（1）]²-[g（1）]²=[f（1）+g（1）][f（1）-g（1）]=2×

1

2

=．
（2）：[f（x）]²-[g（x）]²=[f（x）+g（x）][f（x）-g（x）]
=(

2x+2-x

2

+

2x-2-x

2

) ( 

2x+2-x

2

-

2x-2-x

2

)
=2^x×2^-x=1為定值．
∴本題得證．

點評：本小題主要考查函數的值、函數恒成立問題等基礎知識，考查運算求解能力，解答關鍵是利用整體思想代入求解，屬于基礎題．