Question

已知函數f（x）=ax²-2ax+2+b（a＞0），若f（x）在區間[0，3]上有最大值10，最小值2．
（1）求a，b的值；
（2）若g（x）=f（x）-mx在[2，4]上是單調函數，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）首先判斷出f（x）的對稱軸方程，找出它的最大值、最小值，列出方程，即可求出a，b的值；
（2）根據g（x）=f（x）-mx在[2，4]上是單調函數，判斷出其對稱軸的范圍，然后求出m的取值范圍即可．

解答： 解：（1）函數f（x）=ax²-2ax+2+b（a＞0）的對稱抽方程是x=1，a＞0，
∴f（x）_min=f（1），f（x）_max=f（3），
 即

a-2a+2+b=2 9a-6a+2+b=10

，
解得a=2，b=2；
（2）由（1）知：f（x）=2x²-4x+4
∴g（x）=2x²-（4+m）x+4
對稱軸為：x=

4+m

4

∵g（x）=f（x）-mx在[2，4]上是單調函數，
∴

4+m

4

≤2或

4+m

4

≥4
解得m≤4或m≥12，
綜上，m≤4或m≥12．

點評：此題主要考查了二次函數的性質及其運用，考查了函數單調性的運用，屬于中檔題．