Question

（1）已知：a＞0，

1

b

-

1

a

＞1，證明

1+a

＞

1

1-b

（2）用反證法證明：若a，b，c均為實數，且a=x²-2y+

π

2

，b=y²-2z+

π

3

，c=z²-2x+

π

6

，求證：a，b，c中至少有一個大于0．

Answer 1

考點：反證法與放縮法,不等式的證明

專題：推理和證明

分析：（1）直接利于已知條件通過分解因式，化簡推出結果即可．
（2）用反證法，假設a，b，c都小于或等于0，推出a+b+c的值大于0，出現矛盾，從而得到假設不正確，命題得證．

解答： 證明：（1），∵a＞0，

1

b

-

1

a

＞1，∴a-b＞ab，
∴1+a-b-ab＞1，
∴（1+a）（1-b）＞1，
∵a＞0，∴1-b＞0
∴

1+a

•

1-b

＞1
∴

1+a

＞

1

1-b

．
（2）假設a，b，c都不大于0即a≤0，b≤0，c≤0
根據同向不等式的可加性可得a+b+c≤0①
又a+b+c=x²-2y+

π

2

+y²-2z+

π

3

+z²-2x+

π

6

=（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²+π-3＞0與①式矛盾．
所以假設不成立，即原命題的結論a，b，c中至少有一個大于0．

點評：本題的考點有分析法、反證法以及放縮法，主要考查用反證法證明數學命題，推出矛盾，是解題的關鍵和難點．