Question

在數(shù)列{a_n}中，若a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n≥1），設b_n=a_n+1，
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）分別求{a_n}，{b_n}的通項公式．

Answer 1

考點：等比關(guān)系的確定,數(shù)列遞推式

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用a_n+1=2a_n+1，可得a_n+1+1=2（a_n+1），即可證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）利用等比數(shù)列的通項公式，可得{b_n}的通項公式，從而可求{a_n}的通項公式．

解答： （1）證明：∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∵b_n=a_n+1，
∴b_n+1=2b_n，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）解：由（1）知，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，
∴b_n=2•2^n-1=2ⁿ，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1．

點評：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項，考查學生的計算能力，比較基礎．