Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面是梯形，，，底面點是的中點．

(Ⅰ)證明：；

(Ⅱ)若且與平面所成角的大小為，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（I）根據已知條件得到，，由此證得平面.從而證得,結合，證得平面，進而證得.（II）作出與平面所成的角，通過線面角的大小計算出有關的邊長，作出二面角的平面角，解直角三角形求得二面角的正弦值.

（Ⅰ）證明：因為平面，平面，所以．

又由是梯形，，，知，

而，平面，平面，所以平面．

因為平面，所以．

又，點是的中點，所以．

因為，平面，平面，所以平面．

因為平面，所以．

（Ⅱ）解：如圖所示，過作于，連接，

因為平面，平面，所以，

則平面，于是平面平面，它們的交線是．

過作于，則平面，

即在平面上的射影是，

所以與平面所成的角是．由題意，．

在直角三角形中，，于是．

在直角三角形中，，所以．

過作于，連接，

由三垂線定理，得，所以為二面角的平面角，

在直角三角形中，，．

在直角三角形中，，

所以二面角的正弦值為．