【題目】十九大提出，加快水污染防治，建設(shè)美麗中國.根據(jù)環(huán)保部門對某河流的每年污水排放量
（單位：噸）的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，得到如下頻率分布表：
將污水排放量落入各組的頻率作為概率，并假設(shè)每年該河流的污水排放量相互獨(dú)立.
（1）求在未來3年里，至多1年污水排放量
的概率；（2）該河流的污水排放對沿河的經(jīng)濟(jì)影響如下：當(dāng)
時(shí)，沒有影響；當(dāng)
時(shí)，經(jīng)濟(jì)損失為10萬元；當(dāng)
時(shí)，經(jīng)濟(jì)損失為60萬元.為減少損失，現(xiàn)有三種應(yīng)對方案：
方案一：防治350噸的污水排放，每年需要防治費(fèi)3.8萬元；
方案二：防治310噸的污水排放，每年需要防治費(fèi)2萬元；
方案三：不采取措施.
試比較上述三種文案，哪種方案好，并請說明理由.
【答案】(1) 
.
(2) 采取方案二最好，理由見解析.
【解析】分析：（Ⅰ）根據(jù)給出的頻率分布表可以得到每年排放量在
噸到
噸的概率為
，而三年中之多有一年排放量滿足題設(shè)要求的概率可由二項(xiàng)分布來計(jì)算.
（Ⅱ）考慮不同方案導(dǎo)致的經(jīng)濟(jì)損失.方案一的經(jīng)濟(jì)損失為
萬元；方案二中，排列量在噸到
噸的概率為
，相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)損失為
萬，排放量不在此范圍內(nèi)的概率為
，相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)損失為防治費(fèi)
萬，故經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望為
，同理可以計(jì)算出方案三的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望為
萬，故方案二較好.
詳解：（Ⅰ）由題得
，
設(shè)在未來3年里，河流的污水排放量
的年數(shù)為
，則
.
設(shè)事件“在未來3年里，至多有一年污水排放量
”為事件
，則
.
∴在未來3年里，至多1年污水排放量的概率為.
（Ⅱ） 方案二好，理由如下：由題得
，
.
用
分別表示方案一、方案二、方案三的經(jīng)濟(jì)損失.則
萬元.
的分布列為：
.
的分布列為：
.
∴三種方案中方案二的平均損失最小，所以采取方案二最好.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知a，b，c均為正數(shù)．
（Ⅰ）求證：a2+b2+（ 
）2≥4 
；
（Ⅱ）若a+4b+9c=1，求證： 
≥100．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)命題
對任意實(shí)數(shù)
，不等式
恒成立；命題
方程
表示焦點(diǎn)在
軸上的雙曲線．
（1）若命題
為真命題，求實(shí)數(shù)
的取值范圍；
（2）若命題：“
”為真命題，且“
”為假命題，求實(shí)數(shù)
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知等比數(shù)列{
}的前n項(xiàng)和為
，且滿足2＝
＋m（m∈R）．
（Ⅰ）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{
}滿足
，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和
．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】
(Ⅰ)法一：由前n項(xiàng)和與數(shù)列通項(xiàng)公式的關(guān)系可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為
；
法二：由題意可得
，則
，據(jù)此可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
，裂項(xiàng)求和可得
.
(Ⅰ)法一：
由
得
，
當(dāng)
時(shí)，
，即，
又
，當(dāng)
時(shí)符合上式，所以通項(xiàng)公式為.
法二：
由得
從而有
，
所以等比數(shù)列公比
，首項(xiàng)
，因此通項(xiàng)公式為.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
，
，
.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系，裂項(xiàng)求和的方法等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
【題型】解答題
【結(jié)束】
18
【題目】四棱錐S－ABCD的底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2BC＝2CD＝2，△SAD為正三角形．
（Ⅰ）點(diǎn)M為棱AB上一點(diǎn)，若BC∥平面SDM，AM＝λAB，求實(shí)數(shù)λ的值；
（Ⅱ）若BC⊥SD，求二面角A－SB－C的余弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
， 
，在
處的切線方程為
.
（1）求
， 
；
（2）若
，證明： 
.
【答案】（1）
， 
；（2）見解析
【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于
的方程組，解出即可；
（2）由（1）可知
， 
，
由
，可得
，令
， 利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得
，
從而證明
.
試題解析：（（1）由題意
，所以
，
又
，所以
，
若
，則
，與
矛盾，故
， 
.
（2）由（1）可知
， 
，
由
，可得
，
令
，
，
令
當(dāng)
時(shí)， 
， 
單調(diào)遞減，且
；
當(dāng)
時(shí)， 
， 
單調(diào)遞增；且
，
所以
在
上當(dāng)單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增，且
，
故
，
故
.
【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的切線求參數(shù)的方法，以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，曲線
的參數(shù)方程為
（
， 
為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn)， 
軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線
的極坐標(biāo)方程為
，若直線
與曲線
相切；
（1）求曲線
的極坐標(biāo)方程；
（2）在曲線
上取兩點(diǎn)
， 
與原點(diǎn)
構(gòu)成
，且滿足
，求面積
的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學(xué)從中任取3道題解答.
（I）求張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率；
（II）已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題.設(shè)張同學(xué)答對甲類題的概率都是
，答對每道乙類題的概率都是
，且各題答對與否相互獨(dú)立.用
表示張同學(xué)答對題的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】一同學(xué)在電腦中打出若干個(gè)圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若將此若干個(gè)圈依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的圈，那么在前2012個(gè)圈中的●的個(gè)數(shù)是 （ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為
（其中α為參數(shù)），曲線C2：（x﹣1）2+y2=1，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求曲線C1的普通方程和曲線C2的極坐標(biāo)方程；
（2）若射線θ=
（ρ＞0）與曲線C1，C2分別交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】給出下列四個(gè)命題：①命題“若
，則
”的逆否命題為假命題：
②命題“若
，則
”的否命題是“若
，則
”；
③若“
”為真命題，“
”為假命題，則
為真命題，
為假命題；
④函數(shù)
有極值的充要條件是
或
.
其中正確的個(gè)數(shù)有（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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