Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn.已知2Sn＝3n＋3.

(1)求{an}的通項公式；

(2)若數列{bn}滿足anbn＝log3an，求{bn}的前n項和Tn.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：

(1)由遞推關系可得a1＝3，利用通項公式與前n項和的關系可知：當n>1時，2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，則an＝3n－1，綜上可得： ；

(2)結合(1)中求得的通項公式錯位相減可得{bn}的前n項和.

試題解析：

(1)因為2Sn＝3n＋3，

所以2a1＝3＋3，故a1＝3，

當n>1時，2Sn－1＝3n－1＋3，

此時2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，

即an＝3n－1，

顯然a1不滿足an＝3n－1，

所以an＝

(2)因為anbn＝log3an，所以b1＝，

當n>1時，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)·31－n，

所以T1＝b1＝.

當n>1時，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋[1×3－1＋2×3－2＋3×3－3＋…＋(n－1)×31－n]，

所以3Tn＝1＋[1×30＋2×3－1＋3×3－2＋…＋(n－1)×32－n]，

兩式相減，得2Tn＝＋(30＋3－1＋3－2＋3－3＋…＋32－n)－(n－1)×31－n

＝＋－(n－1)×31－n

＝－，

所以Tn＝－.

經檢驗，n＝1時也適合．

綜上可得Tn＝－.