Question

如圖，曲線是以原點O為中心、為焦點的橢圓的一部分，曲線是以O為頂點、為焦點的拋物線的一部分，A是曲線和的交點，且為鈍角，若，.（Ⅰ）求曲線和所在的橢圓和拋物線方程；

（Ⅱ）過作一條與軸不垂直的直線，分別與曲線依次交于B、C、D、E四點，若G為CD中點、H為BE中點，證明為定值，并求出這個定值．

Answer 1

解:（Ⅰ）設橢圓方程為,

則,………2分

設,則,,兩式相減得,由拋物線定義可知,則或（舍去）

所以橢圓方程為,拋物線方程為. ……5分

（Ⅱ）設，直線,代入

得：，即,

……………7分

同理，將代入得： ,，…9分

所以＝

為定值