Question

某企業投入81萬元經銷某產品，經銷時間共60個月，市場調研表明，該企業在經銷這個產品期間第x個月的利潤f(x)=

1(1≤x≤20，x∈N*) 1 10 x(21≤x≤60，x∈N*)

（單位：萬元），為了獲得更多的利潤，企業將每月獲得的利潤投入到次月的經營中，記第x個月的當月利潤率g(x)=

第x個月的利潤

第x個月前的資金總和

，例如：g(3)=

f(3)

81+f(1)+f(2)

．
（1）求g（10）；
（2）求第x個月的當月利潤率g（x）；
（3）該企業經銷此產品期間，哪個月的當月利潤率最大，并求該月的當月利潤率．

Answer 1

分析：（1）當1≤x≤20時，f（x）=1，易知f（1）=f（2）=f（3）=…=f（9）=f（10）=1，從而知g(10)=

f(10)

81+f(1)+f(2)+…+f(9)

= 

1

90

（2）求第x個月的當月利潤率，要考慮1≤x≤20，21≤x≤60時f（x）的值，代入g(x)=

第x個月的利潤

第x個月前的資金總和

即可．
（3）求那個月的當月利潤率最大時，由（2）得出的分段函數，利用函數的單調性，基本不等式a+b≥2

ab

(a＞0，b＞0，且a=b時取“=“)可得，解答如下：

解答：解：（1）由題意得：f（1）=f（2）=f（3）=…═f（9）=f（10）=1
g（x）=

f(10)

81+f(1)+…+f(9)

=

1

81+1+…+1

=

1

90

．
（2）當1≤x≤20時，f（1）=f（2）═f（x-1）=f（x）=1
∴g（x）=

f(x)

81+f(1)+…+f(x-1)

=

1

81+1+…+1

=

1

81+(x-1)

=

1

x+80

．
當21≤x≤60時，
g（x）=

f(x)

81+f(1)+…+f(20)+f(21)+…+f(x-1)

=

1 10 x

81+1+…+1+f(21)+…f(x-1)

=

1 10 x

81+20+ 21 10 +…+ x-1 10

=

1 10 x

101+ 1 2 ( 21 10 + x-1 10 )(x-21)

=

1 10 x

101+ (x-21)(x+20) 20

=

2x

x2-x+1600

∴當第x個月的當月利潤率
g(x)=

1 x+80 (1≤x≤20，x∈N*) 2x x2-x+1600 (21≤x≤60，x∈N*)

；
（3）當1≤x≤20時，g(x)=

1

x+80

是減函數，
此時g（x）的最大值為g(1)=

1

81

當21≤x≤60時，
g(x)=

2x

x2-x+1600

=

2

x+ 1600 x -1

≤

2

2 1600 -1

=

2

79

當且僅當x=

1600

x

時，即x=40時，
g(x)max=

2

79

，又∵

2

79

＞

1

81

，
∴當x=40時，g(x)max=

2

79

所以，該企業經銷此產品期間，第40個月的當月利潤率最大，最大值為

2

79

．

點評：本題是分段函數的應用題，借助分段函數考查反函數的單調性，基本不等式的應用，求分段函數的最值，綜合性強，難度適中，值得學習．