Question

已知函數f(x)=log

1

2

(x+1)，當點P(x0，y0)在y=f(x)的圖象上移動時，點Q(

x0-t+1

2

，y0)(t∈R)在函數y=g(x)的圖象上移動．
（I）點P的坐標為（1，-1），點Q也在y=f（x）的圖象上，求t的值；
（Ⅱ）求函數y=g（x）的解析式；
（Ⅲ）若方程g(

x

2

)=log

1

2

2x

x+1

的解集是∅，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由已知中點P的坐標為（1，-1），我們可以求出點Q的坐標（含參數t），由點Q也在y=f（x）的圖象上，可以構造一個關于t的方程，解方程求出t的值．
（II）由已知中點Q(

x0-t+1

2

，y0)(t∈R)在函數y=g(x)的圖象上，可得

x0=2x+t-1 y0=y

，由點P（x₀，y₀）在y=f（x）的圖象上，滿足y=f（x）的解析式，代入即可求得函數y=g（x）的解析式；
（III）若方程g(

x

2

)=log

1

2

2x

x+1

的解集是∅，則方程組

2x x+1 =t+x x＞0或x＜-1

無解，構造函數h（x）=

2x

x+1

-x，求出函數的值域后，即可得到方程g(

x

2

)=log

1

2

2x

x+1

的解集是∅時，實數t的取值范圍．

解答：解：（I）當點P坐標為（1，-1），點Q的坐標為（

2-t

2

，-1），
∵點Q也在y=f（x）的圖象上，∴-1=log

1

2

（

2-t

2

+1）
∴t=0．
（Ⅱ）設Q（x，y）在y=g（x）的圖象上，
則

x= x0-t+1 2 y=y0

?

x0=2x+t-1 y0=y

而點P（x₀，y₀）在y=f（x）的圖象上．
∴y₀=log

1

2

（2x+t）即為所求
（Ⅲ）原方程可化為

2x x+1 =t+x x＞0或x＜-1

令h（x）=

2x

x+1

-x=-[

2

x+1

+（x+1）]+3
①當x＞0時，

2

x+1

+(x+1)≥2

2

(x=

2

-1時取等號）∴h（x）≤3-2

2

；
②當x＜-1時，

2

x+1

+(x+1)≤-2

2

(x=-

2

-1時取等號），∴h（x）≥3+2

2

故方程h（x）=t的解集為?時，t的取值范圍為（3-2

2

，3+2

2

）．

點評：本題考查的知識點是對數函數的圖象與性質的綜合應用，求對數函數的解析式，其中利用坐標系，求出函數y=g（x）的解析式中解答本題的關鍵．