Question

【題目】已知數列{an}滿足a1+2a2+…+nan=（n﹣1）2n+1+2，n∈N*
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）若bn= ，Tn=b1+b2+…+bn ， 求證：對任意的n∈N* ， Tn＜ ．

Answer 1

【答案】解：（I）a1+2a2+…+nan=（n﹣1）2n+1+2，n∈N*，n＞1時，a1+2a2+…+（n﹣1）an﹣1=（n﹣2）2n+2，

∴nan=（n﹣1）2n+1﹣（n﹣2）2n，化為：an=2n．

當n=1時，a1=2，上式也成立．

∴an=2n．

（II）證明：bn= = = ，

∴Tn=b1+b2+…+bn= + +…+

= ＜ ．

∴對任意的n∈N*，Tn＜ ．

【解析】（1）當n＞1時，a1+2a2+…+nan=（n﹣1）2n+1+2，a1+2a2+…+（n﹣1）an﹣1=（n﹣2）2n+2兩式相減得到an=2n，當n=1時也滿足其通項公式，故an=2n，（2）根據簡單的對數運算得出bn的通項公式，再用裂項求出其前n項和，不難得出 Tn＜ .
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．