Question

對于函數f（x）=a x²+（b+1）x+b-2（a≠0），若存在實數 x₀，使f（ x₀）=x₀成立，則稱 x₀為f（x）的不動點
（1）當a=2，b=-2時，求f（x）的不動點；
（2）若對于任何實數b，函數f（x）恒有兩個相異的不動點，求實數a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下判斷直線L：y=ax+1與圓（x-2）²+（y+2）²=4 a²+4的位置關系．

Answer 1

分析：（1）當a=2，b=-2時，f（x）=2x²-x-4，設x為其不動點，即2x²-x-4=x解之即可求出所求；
（2）由f（x）=x得a x²+bx+b-2=0，關于x的方程有相異實根，則 b²-4a（b-2）＞0，對所有的b∈R，b²-4ab+8a＞0恒成立，根據判別式即可求出a的范圍；
（3）由圓的方程得圓心M（2，-2），求出半徑和M到直線y=ax+1的距離d，比較d與r的大小，討論a的范圍可得直線與圓的位置關系．

解答：解：（1）f（x）=a x²+（b+1）x+b-2（a≠0），
當a=2，b=-2時，f（x）=2 x²-x-4，
設x為其不動點，即2 x²-x-4=x
則2 x²-2x-4=0，解得 x₁=-1，x₂=2
即f（x）的不動點為-1，2…..（4分）
（2）由f（x）=x得a x²+bx+b-2=0
關于x的方程有相異實根，則 b²-4a（b-2）＞0，即 b²-4ab+8a＞0
又對所有的b∈R，b²-4ab+8a＞0恒成立
故有（4a）²-4•8a＜0，得0＜a＜2…．（10分）
（3）由圓的方程得圓心M（2，-2），半徑r=2

a2+1

M到直線y=ax+1的距離d=

|2a+3|

1+a2

比較d與r的大小：r-d=2

a2+1

-

2a+3

a2+1

=

2a2-2a-1

a2+1

=

2(a- 1 2 )2- 3 2

a2+1

…..（9分）
當a∈(0，

1+ 3

2

)時，r＜d，直線與圓相離；
當a=

1+ 3

2

時，r=d，直線與圓相切；
當a∈(

1+ 3

2

，2)時，r＞d，直線與圓相交（16分）．

點評：本題互異考查了新定義，以及恒成立問題和直線與圓的位置關系的判定，屬于中檔題．