Question

對于函數f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）
（1）求函數f（x）的定義域和值域；
（2）探索函數f（x）的單調性，并寫出探索過程；
（3）是否存在實數a使函數f（x）為奇函數？若存在求出a的值，不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由2^x＞0可求得函數定義域，根據指數函數的值域及反比例函數的值域可求得f（x）的值域；
（2）利用指數函數、反比例函數的單調性可作出判斷；
（3）先設f（x）為奇函數，然后根據奇函數性質可得f（-x）=-f（x），由此刻求得a值，代入a值再檢驗；

解答：解：（1）∵2^x＞0，
∴f（x）的定義域為R，
由2^x＞0，得2^x+1＞1，
∴0＜

2

2x+1

＜2，-2＜-

2

2x+1

＜0，
∴a-2＜a-

2

2x+1

＜a，即a-2＜f（x）＜a，
∴f（x）的值域為（a-2，a）；
（2）∵y=2^x單調遞增，
∴y=

2

2x+1

單調遞減，y=-

2

2x+1

單調遞增，
∴f（x）=a-

2

2x+1

單調遞增；
（3）若f（x）是奇函數，則f（-x）=-f（x），
∴a-

2

2-x+1

=-(a-

2

2x+1

)，即2a=

2

2x+1

+

2

2-x+1

=

2

2x+1

+

2•2x

1+2x

=2，
∴a=1，
當a=1時f（x）=1-

2

2x+1

，經驗證f（-x）=-f（x）成立．
故存在實數a=1使f（x）為奇函數．

點評：本題考查函數奇偶性、單調性的判斷，考查函數定義域、值域的求解，屬基礎題，定義是解決函數性質的基本方法，熟記基本函數定義域、值域是解決相關問題的基礎．