Question

對于函數f（x）=a-

2•2x

2x+1

（a∈R）．
（Ⅰ）判斷函數f（x）的單調性并證明；
（Ⅱ）是否存在實數a，使得f（x）為奇函數，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用函數單調性的定義判斷并證明：任取x₁＜x₂，通過作差比較f（x₁）與f（x₂）的大小關系，若f（x₁）＞f（x₂），則為減函數，若f（x₁）＜f（x₂），則為增函數；
（Ⅱ）先判斷函數的定義域是否關于原點對稱，利用奇函數的定義求解證明即可；

解答：解：（Ⅰ）f（x）在R上單調遞減，
證明如下：任取x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=

2•2x2

2x2+1

-

2•2x1

2x1+1

=

2(2x2-2x1)

(2x2+1)(2x1+1)

∵x₁＜x₂，∴0＜2x1＜2x2，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即 f（x₁）＞f（x₂）．
故f（x）在R上單調遞減．
（Ⅱ）解：存在a=1時，f（x）為奇函數．
證明如下：f（x）=1-

2•2x

2x+1

=

1-2x

2x+1

定義域為R，關于原點對稱．
又f（-x）=

1-2-x

2-x+1

=

2x-1

2x+1

=-f（x），
故存在a=1時，f（x）為奇函數．

點評：本題考查函數單調性、奇偶性的判定及其證明，涉及有關函數的奇偶性、單調性的證明問題，常常運用它們定義進行解決，解題時注意函數定義域的求解．屬于高考常考題．