Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦點為F₁、F₂，點P為橢圓上一點，△F₁PF₂的重心、內心分別為G、I，若

IG

=λ(1，0)(λ≠0)，則橢圓的離心率e等于（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2

  2

• C．

  1

  4

• D．

  5 -1

  2

Answer 1

分析：在焦點△F₁PF₂中，設P（x₀，y₀），由三角形重心坐標公式，可得重心G的縱坐標，因為

IG

=λ(1，0)(λ≠0)，故內心I的縱坐標與G相同，最后利用三角形F₁PF₂的面積等于被內心分割的三個小三角形的面積之和建立a、b、c的等式，即可解得離心率

解答：解：設P（x₀，y₀），∵G為△F₁PF₂的重心，
∴G點坐標為 G（

x0

3

，

y0

3

），
∵

IG

=λ(1，0)(λ≠0)，∴IG∥x軸，
∴I的縱坐標為

y0

3

，
在焦點△F₁PF₂中，|PF₁|+|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c
∴S△F1PF2=

1

2

•|F₁F₂|•|y₀|
又∵I為△F₁PF₂的內心，∴I的縱坐標

y0

3

即為內切圓半徑，
內心I把△F₁PF₂分為三個底分別為△F₁PF₂的三邊，高為內切圓半徑的小三角形
∴S△F1PF2=

1

2

（|PF₁|+|F₁F₂|+|PF₂|）|

y0

3

|
∴

1

2

•|F₁F₂|•|y₀|=

1

2

（|PF₁|+|F₁F₂|+|PF₂|）|

y0

3

|
即

1

2

×2c•|y₀|=

1

2

（2a+2c）|

y0

3

|，
∴2c=a，
∴橢圓C的離心率e=

c

a

=

1

2

故選A

點評：本題考查了橢圓的標準方程和幾何意義，重心坐標公式，三角形內心的意義及其應用，橢圓離心率的求法．解決此類問題的關鍵是熟練掌握橢圓的有關數值的關系以及結合橢圓的形狀和幾何意義兩次表達三角形的面積．