Question

（2011•徐州模擬）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}的公比為q，且0＜q＜

1

2

．
（1）在數(shù)列{a_n}中是否存在三項(xiàng)，使其成等差數(shù)列？說(shuō)明理由；
（2）若a₁=1，且對(duì)任意正整數(shù)k，a_k-（a_K+1+a_k+2）仍是該數(shù)列中的某一項(xiàng)．
（ⅰ）求公比q；
（ⅱ）若b_n=-log an+1（

2

+1），S_n=b₁+b₂+…+b_n，T_n=S₁+S₂+…+S_n，試用S₂₀₁₁ 表示T₂₀₁₁．

Answer 1

分析：（1）由題意知數(shù)列{a_n}是遞減正項(xiàng)數(shù)列，因此設(shè)a_k、a_m、a_n（k＜m＜n）成等差數(shù)列，根據(jù)等差中項(xiàng)的定義列式并化簡(jiǎn)可得2q^m-k=1+q^n-k，結(jié)合公比0＜q＜

1

2

可得此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故數(shù)列{a_n}中不存在三項(xiàng)成等差數(shù)列．
（2））（i）化簡(jiǎn)得a_k-（a_k+1+a_k+2）=a₁q^k-1[

5

4

-（q+

1

2

）²]，結(jié)合[

5

4

-（q+

1

2

）²]∈（

1

4

，1）討論可得只有a_k-（a_k+1+a_k+2）=a_k+1，得到方程q²+2q-1=0解之得q=

2

-1（舍負(fù)）；
（ii）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得b_n=

1

n

，從而得到S_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，進(jìn)而得到T_n=1+（1+

1

2

）+（1+

1

2

+

1

3

）+…+（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

），對(duì)此式重新組合整理得T_n=（n+1）S_n-n，由此將n=2011代入即可得到用S₂₀₁₁ 表示T₂₀₁₁的式子．

解答：解：（1）根據(jù)題意，a_n=a₁q^n-1，其中0＜q＜

1

2

．
∵a_n＞0，∴a_n+1＜a_n對(duì)任意n∈N₊恒成立，
設(shè){a_n}中存在三項(xiàng)a_k、a_m、a_n（k＜m＜n），滿足成等差數(shù)列
則2a_m=a_k+a_n，即2q^m-k=1+q^n-k，
由2q^m-k＜1且1+q^n-k＞1，可得上式不能成立．因此數(shù)列{a_n}中不存在三項(xiàng)，使其成等差數(shù)列．
（2）（i）a_k-（a_k+1+a_k+2）=a₁q^k-1（1-q-q²）=a₁q^k-1[

5

4

-（q+

1

2

）²]
∵[

5

4

-（q+

1

2

）²]∈（

1

4

，1），
∴a_k-（a_K+1+a_k+2）＜a_k＜a_k-1＜…＜a₂＜a₁，且a_k-（a_K+1+a_k+2）＞a_k+2＞a_k+3＞…
因此，只有a_k-（a_k+1+a_k+2）=a_k+1，化簡(jiǎn)可得q²+2q-1=0
解之得q=

2

-1（舍負(fù)）；
（ii）∵a₁=1，q=

2

-1，
∴a_n=（

2

-1）^n-1，可得b_n=-log an+1（

2

+1）=log(

2

-1)n(

2

+1)-1=

1

n

，
因此，S_n=b₁+b₂+…+b_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
T_n=S₁+S₂+…+S_n=1+（1+

1

2

）+（1+

1

2

+

1

3

）+…+（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）
=n+

1

2

（n-1）+

1

3

（n-2）+…+

1

n

[n-（n-1）]=n（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）-（

1

2

+

2

3

+…+

n-1

n

）
=nS_n-[（1-

1

2

）+（1-

1

3

）+…+（1-

1

n

）]=nS_n-[（n-1）-（

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）]
=nS_n-[n-（1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

）]=nS_n-n+S_n=（n+1）S_n-n
由此可得：T₂₀₁₁=2012S₂₀₁₁-2011．

點(diǎn)評(píng)：本題給出公比小于

1

2

的正項(xiàng)等比數(shù)列，討論它的某三項(xiàng)成等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式并依此解決數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和的問(wèn)題．著重考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，以及數(shù)列與函數(shù)的綜合等知識(shí)，屬于中檔題．