Question

19．已知f（x）是定義在R上的奇函數，且f（x+2）=f（x-2）；當0≤x≤1時，f（x）=$\sqrt{x}$，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）等于（　　）

• A． -1
• B． 0
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 根據條件求出函數的周期是4，結合函數奇偶性和周期性的性質求出函數在一個周期內的值內f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，然后進行整體計算即可．

解答 解：由f（x+2）=f（x-2）得f（x+4）=f（x），則函數是周期為4的周期函數，
∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴當0≤x≤1時，f（x）=$\sqrt{x}$，則f（0）=0，f（1）=1，
當x=0時，f（2）=f（-2）=-f（2），則f（2）=0，
f（3）=f（3-4）=f（-1）=-f（1）=-1，
f（4）=f（0）=0，
則在一個周期內f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=1+0-1+0=0，
則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=504[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（2017）
=f（2017）=f（1）=1，
故選：C．

點評 本題主要考查函數值的計算，結合函數奇偶性和周期性的性質將條件進行轉化是解決本題的關鍵．