Question

已知數列為公差不為的等差數列，為前項和，和的等差中項為，且．令數列的前項和為．
（1）求及；
（2）是否存在正整數成等比數列？若存在，求出所有的的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1），；（2）存在，.

解析試題分析：（1）由條件設公差為，從而得到，即得到.再代入中，通過裂項相消法即可得；（2）先假設存在，分別寫出表達式，再由等比中項的性質得到，再通過分析得，而，且都是正整數，則可得只能為2，代入得符合題意.所以存在可以使成等比數列.
試題解析：（Ⅰ）因為為等差數列，設公差為，則由題意得

整理得
所以     3分
由
所以     5分
（Ⅱ）假設存在
由（Ⅰ）知，，所以
若成等比，則有
   8分
   （1）
因為，所以，     10分
因為，當時，帶入（1）式，得；
綜上，當可以使成等比數列.     12分
考點：1.等差中項的性質；2.等比中項的性質；3.裂項相消法.