數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，若
，點(diǎn)
在直線
上．
⑴求證：數(shù)列
是等差數(shù)列；
⑵若數(shù)列
滿足
，求數(shù)列的前項(xiàng)和
；
⑶設(shè)
，求證：
．
（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（2）
；（3）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析.
解析試題分析：本題考查等比數(shù)列、等差數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力.第一問(wèn)，由于點(diǎn)在直線上，所以將點(diǎn)代入得到
與
的關(guān)系式，兩邊同除以
，湊出新的等差數(shù)列，并求出首項(xiàng)個(gè)公差；第二問(wèn)，先利用第一問(wèn)的結(jié)論求出
的通項(xiàng)公式，得到的表達(dá)式，由求
，將得到的結(jié)論代入到
中，用錯(cuò)位相減法求，在解題過(guò)程中用到了等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式；第三問(wèn)，先將第二問(wèn)的結(jié)論代入，利用分組求和的方法先求出
，當(dāng)
時(shí)，具體比較結(jié)果與
的大小，當(dāng)
時(shí)，得到的數(shù)都比
的結(jié)果大，所以都大于，所以不等式成立.
試題解析：（1）∵點(diǎn)
在直線
（
）上，
∴
，
兩邊同除以，得
，
，
于是，是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.
（2）∵
，∴
，
∴當(dāng)
時(shí)，
，
當(dāng)
時(shí)，
，
∴
∴
，
∴
∴
∴
∴
.
（3）∵
，
∴
當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，
，
所以.
考點(diǎn)：1.配湊法求通項(xiàng)公式；2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；3.錯(cuò)位相減法；4.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；5.分組求和.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題
某產(chǎn)品具有一定的時(shí)效性，在這個(gè)時(shí)效期內(nèi)，由市場(chǎng)調(diào)查可知，在不做廣告宣傳且每件獲利a元的前提下，可賣出b件；若做廣告宣傳，廣告費(fèi)為n千元比廣告費(fèi)為
千元時(shí)多賣出
件。
（1）試寫出銷售量
與n的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)
時(shí)，廠家應(yīng)該生產(chǎn)多少件產(chǎn)品，做幾千元的廣告，才能獲利最大？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題
已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列
，其前n項(xiàng)和
滿足
；等差數(shù)列
中
，且
是
與
的等比中項(xiàng)
(1)求
和
，
(2)記
，求
的前n項(xiàng)和
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題
設(shè)數(shù)列
的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)的和為
，對(duì)于任意正整數(shù)m,n, 
恒成立.
(Ⅰ)若
=1,求
及數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若
,求證:數(shù)列是等比數(shù)列.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題
各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{
}中，a1＝1，
是數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，對(duì)任意n∈N﹡，有2＝2p
＋p－p（p∈R）．
（1）求常數(shù)p的值；
（2）求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題
已知數(shù)列
滿足
，
，
，且
是等比數(shù)列。
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求出通項(xiàng)公式
；
（Ⅲ）求證：
…
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題
已知數(shù)列
為公差不為
的等差數(shù)列，
為前
項(xiàng)和，
和
的等差中項(xiàng)為
，且
．令
數(shù)列
的前項(xiàng)和為
．
（1）求
及；
（2）是否存在正整數(shù)
成等比數(shù)列？若存在，求出所有的
的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題
甲、乙兩人用農(nóng)藥治蟲(chóng)，由于計(jì)算錯(cuò)誤，在A、B兩個(gè)噴霧器中分別配制
成12%和6%的藥水各10千克，實(shí)際要求兩個(gè)噴霧器中的農(nóng)藥的濃度是一樣的，現(xiàn)在只有兩個(gè)容量為1千
克的藥瓶，他們從A、B兩個(gè)噴霧器中分別取1千克的藥水，將A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A
中，這樣操作進(jìn)行了n次后，A噴霧器中藥水的濃度為
，B噴霧器中藥水的濃度為
．
（1）證明：
是一個(gè)常數(shù)；
（2）求
與
的關(guān)系式；
（3）求的表達(dá)式．
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的前
項(xiàng)和
，求證：