Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線(xiàn)構(gòu)成等腰直角三角形，且直線(xiàn)x-y+b=0是拋物線(xiàn)y²=4x的一條切線(xiàn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)S (0， -

1

2

)且斜率為1的直線(xiàn)l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，求|MN|的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把拋物線(xiàn)和直線(xiàn)方程聯(lián)立消去y，根據(jù)△=0求出b，再根據(jù)兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線(xiàn)構(gòu)成等腰直角三角形得出a和b的關(guān)系式，求得a；
（Ⅱ）將直線(xiàn)l：y=x-

1

2

與橢圓方程聯(lián)立，消去y，利用韋達(dá)定理，即可求|AB|．

解答：解：（Ⅰ）直線(xiàn)x-y+b=0與拋物線(xiàn)y²=4x聯(lián)立，消去y得：x2+（2b-4）x+b2=0
∵直線(xiàn)x-y+b=0與拋物線(xiàn)y²=4x相切，
∴△=（2b-4）²-4b²=0，∴b=1，
∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線(xiàn)構(gòu)成等腰直角三角形，
∴a=

2

b=

2

∴所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）將直線(xiàn)l：y=x-

1

2

與橢圓方程聯(lián)立，消去y可得3x²-2x-

3

2

=0
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

2

3

，x₁x₂=-

1

2

∴|AB|=

1+1

•|x₁-x₂|=

2

•

4 9 +2

=

2 11

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．