Question

【題目】已知平面直角坐標(biāo)系xOy，在x軸的正半軸上，依次取點(diǎn)，，，，并在第一象限內(nèi)的拋物線上依次取點(diǎn)，，，，，使得都為等邊三角形，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)第n個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為．

⑴求，，并猜想不要求證明)；

⑵令，記為數(shù)列中落在區(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，設(shè)數(shù)列的前m項(xiàng)和為，試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由；

⑶已知數(shù)列滿足：，數(shù)列滿足：，求證：．

Answer 1

【答案】⑴，,；⑵；⑶詳見(jiàn)解析

【解析】

，，進(jìn)而猜想出．

.由，可得，，，，利用等比數(shù)列的求和公式即可得出.根據(jù)對(duì)任意恒成立即可得出范圍．

，記，

可得，，

記，可得，根據(jù)當(dāng)時(shí)，即可得出．

解：，

猜想

，由，

，，，

對(duì)任意恒成立

⑶證明：，記，

則

，記，

則

，

當(dāng)時(shí)，可知：，