Question

【題目】已知二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1）且與x軸有唯一的交點（﹣1，0）． （Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設函數F（x）=f（x）﹣mx，若F（x）在區間[﹣2，2]上是單調函數，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）設函數g（x）=f（x）﹣kx，x∈[﹣2，2]，記此函數的最小值為h（k），求h（k）的解析式．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題意得c=1， ，b2﹣4ac=0 解得a=1，b=2，c=1，
從而f（x）=x2+2x+1；
（Ⅱ）F（x）=x2+（2﹣m）x+1圖象的對稱軸為直線 ，圖象開口向上，
當 或 ，即m≤﹣2或m≥6時，F（x）在[﹣2，2]上單調，
故實數m的取值范圍為（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）；
（Ⅲ）g（x）=x2+（2﹣k）x+1圖象的對稱軸為直線 ，圖象開口向上
當 ，即k≤﹣2時，F（x）在[﹣2，2]上單調遞增，
此時函數F（x）的最小值g（k）=F（﹣2）=2k+1
當 即﹣2＜k≤6時，F（x）在 上遞減，在 上遞增
此時函數F（x）的最小值 ；
當 即k＞6時，F（x）在[﹣2，2]上單調遞減，
此時函數F（x）的最小值g（k）=F（2）=9﹣2k；
綜上，函數F（x）的最小值
【解析】（I）依題意得c=1， ，b2﹣4ac=0，解方程組求出a，b，c值，可得f（x）的表達式；（Ⅱ）函數F（x）=x2+（2﹣m）x+1圖象的對稱軸為直線 ，圖象開口向上，若F（x）在區間[﹣2，2]上是單調函數，則區間在對稱軸的一側，進而得到實數m的取值范圍；（Ⅲ）g（x）=x2+（2﹣k）x+1圖象的對稱軸為直線 ，圖象開口向上，不同情況下g（x）在區間[﹣2，2]上單調性，進而可得函數的最小值為h（k）的解析式．