Question

已知函數(shù)f（x）=

sin πx(0≤x≤1) log2014x(x＞1)

，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則a+b+c的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先判斷函數(shù)的性質(zhì)以及圖象的特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的思想去解決．

解答： 解：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，函數(shù)f（x）=sinπx的對(duì)稱軸為x=

1

2

．
當(dāng)f（x）=1時(shí)，由log₂₀₁₄x=1，解得x=2014．
若a，b，c互不相等，不妨設(shè)a＜b＜c，
因?yàn)閒（a）=f（b）=f（c），
所以由圖象可知0＜a＜

1

2

，

1

2

＜b＜1，1＜c＜2014，
且

a+b

2

=

1

2

，即a+b=1，
所以a+b+c=1+c，
因?yàn)?＜c＜2014，
所以2＜1+c＜2015，
即2＜a+b+c＜2015，
所以a+b+c的取值范圍是（2，2015）．
故答案為：（2，2015）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查三角函數(shù)的對(duì)稱性，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．