Question

（2009•臺州一模）已知向量

a

=（sinx，1），

b

=（t，x），若函數f（x）=

a

•

b

在區間[0，

π

2

]上是增函數，則實數t的取值范圍是

[-1，+∞）

．

Answer 1

分析：根據平面向量的數量積運算，可得f（x）=tsinx+x在區間[0，

π

2

]上是增函數．由導數與函數單調性的關系，得不等式
f'（x）≥0即tcosx+1≥0區間[0，

π

2

]上恒成立，結合此時cosx的值域即可得到實數t的取值范圍．

解答：解：∵

a

=（sinx，1），

b

=（t，x），
∴

a

•

b

=sinx•t+1•x=tsinx+x，
由此可得f（x）=

a

•

b

=tsinx+x，在區間[0，

π

2

]上是增函數，
∴f'（x）≥0區間[0，

π

2

]上恒成立，
∵對函數f（x）求導數，得f'（x）=tcosx+1，
∴不等式tcosx+1≥0區間[0，

π

2

]上恒成立，
結合在區間[0，

π

2

]上0≤cosx≤1，可得t≥-1
即實數t的取值范圍是：[-1，+∞）
故答案為：[-1，+∞）

點評：本題以向量數量積運算為載體，求函數恒成立時實數t的取值范圍，著重考查了運用導數研究函數的單調性、不等式恒成立等知識，屬于中檔題．