Question

【題目】甲乙兩人進(jìn)行某種游戲比賽，規(guī)定：每一次勝者得1分，負(fù)者得0分；當(dāng)其中一人的得分比另一人的得分多2分時(shí)即贏得這場(chǎng)游戲，比賽隨之結(jié)束.同時(shí)規(guī)定：比賽次數(shù)最多不超過20次，即經(jīng)20次比賽，得分多者贏得這場(chǎng)游戲，得分相等為和局.已知每次比賽甲獲勝的概率為可，乙獲勝的概率為.假定各次比賽的結(jié)果是相互獨(dú)立的，比賽經(jīng)次結(jié)束.求的期望的變化范圍.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

記比賽經(jīng)次結(jié)束的概率為.

若為奇數(shù)，則甲乙得分之差亦為奇數(shù)，比賽無法結(jié)束.

考慮為偶數(shù)時(shí)，頭兩次比賽的結(jié)果：1.甲連勝或乙連勝兩次，稱為有勝負(fù)的兩次，此結(jié)果出現(xiàn)的概率為； 2.甲乙各勝一次，稱為無勝負(fù)的兩次，此結(jié)果有兩種情形，故出現(xiàn)的概率為.于是，1、2兩次，3、4兩次，，、兩次均未分勝負(fù).若，則第、兩次為有勝負(fù)的兩次.從而，.

若，則比賽必須結(jié)束.從而，.

綜上，.令.則

.因此，所以.