Question

【題目】已知函數.

（1）當時，討論函數的單調性；

（2）若函數在區間上無零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）減區間為，單調遞增區間為；（2）

【解析】

（1）把代入到中求出，令求出的范圍即為函數的增區間，令求出的范圍即為函數的減區間；

（2）時不可能恒成立，所以要使函數在上無零點，只需要對時恒成立，列出不等式解出大于一個函數，利用導數得到函數的單調性，根據函

數的增減性得到這個函數的最大值即可得到的取值范圍；

解：（1）當時，，定義域為，則，

令，得，令，得，

∴的單調遞減區間為（0，2），單調遞增區間為.

（2）∵函數在區間上無零點，

∴在區間上，恒成立或恒成立，

，

，

①當時，，

在區間上，，

記，

則，

在區間上，，

∴在區間上，單調遞減，∴，

即，∴，

即在區間上恒成立，滿足題意；

②當時，，，

，

∵，，∴，

∴在上有零點，即函數在區間上有零點，不符合題意.

綜上所述，.