Question

在△ABC中，C是直角，則sin²A+2sinB（　　）

• A、有最大值無(wú)最小值
• B、有最小值無(wú)最大值
• C、有最大值也有最小值
• D、無(wú)最大值也無(wú)最小值

Answer 1

分析：根據(jù)題意可得0＜B＜

π

2

，并且sinB∈（0，1），對(duì)所求進(jìn)行化簡(jiǎn)可得-sin²B+2sinB+1，進(jìn)而利用換元的方法得到二次函數(shù)y=-t²+2t+1，t∈（0，1），再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．

解答：解：因?yàn)樵凇鰽BC中，C是直角，
所以A+B=

π

2

，所以A=

π

2

-B．
由題意可得0＜B＜

π

2

，所以sinB∈（0，1）
所以sin²A+2sinB=cos²B+2sinB=-sin²B+2sinB+1，
設(shè)t=sinB，則t∈（0，1），
所以原函數(shù)為：y=-t²+2t+1，t∈（0，1），
因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸t=1，
所以函數(shù)沒(méi)有最值，即sin²A+2sinB沒(méi)有最值．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)概念，以及掌握利用換元的方法借助于其它函數(shù)研究原函數(shù)的最值，在換元時(shí)一定是等價(jià)換元．