Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=

2

，BC=2，∠BAC=45°，D是AC₁的中點，E是側棱BB₁上的一個動點．
（1）當E是BB₁的中點時，證明：DE∥平面A₁B₁C₁；
（2）在棱BB₁上是否存在點E滿足

BE

=λ

EB1

，使二面角E-AC₁-C是直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）取A₁C₁中點F，連接DF，DE，B₁F，利用三角形中位線的性質，可得線線平行，利用線面平行的判定，可得DE∥平面A₁B₁C₁；
（2）建立直角坐標系，求出平面A₁ACC₁的法向量、平面AC₁E的法向量，利用數量積為0建立方程，即可求得結論．

解答：（1）證明：取A₁C₁中點F，連接DF，DE，B₁F
∵D是AC₁的中點，E是BB₁的中點．
∴DF∥AA₁，B₁E∥AA₁，DF=

1

2

AA₁，B₁E=

1

2

AA₁，
∴DF∥B₁E，DF=B₁E，所以DE∥B₁F，DE=B₁F…（2分）
又B₁F?平面A₁B₁C₁，所以DE∥平面A₁B₁C₁…（4分）
（2）解：分別在兩底面內作BO⊥AC于O，B₁O₁⊥A₁C₁于O₁，連接OO₁，則OO₁∥AA₁，以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，OO₁為z軸建立直角坐標系，
設AA₁=t，BE=h，則λ=

h

t-h

，A（0，-1，0），C₁（0，

3

，t），E（（1，0，h）．
平面A₁ACC₁的法向量為

n1

=（1，0，0）…（7分）
設平面AC₁E的法向量為

n2

=（x，y，z）
∵

AE

=（1，1，h），

AC1

=（0，

3

+1，h）
∴由

n2 • AE =0 n2 • AC1 =0

可得

x+y+hz=0 ( 3 +1)t+tz=0

…（9分）
取z=1得y=-

t

3 +1

，x=

t

3 +1

-h
∴

n2

=(

t

3 +1

-h，-

t

3 +1

，1)…（11分）
由題知

n1

•

n2

=0，∴

t

3 +1

-h=0
∴h=

t

3 +1

，∴λ=

h

t-h

=

3

3

所以在BB₁上存在點E，當

BE

=

3

3

EB1

時，二面角E-AC₁-C是直二面角．…（12分）

點評：本題考查線面平行，考查面面角，考查向量知識的運用，屬于中檔題．