Question

在△ABC中，a、b、c分別是內角A、B、C所對的邊，C=

π

3

．若

OD

=a

OE

+b

OF

，且D、E、F三點共線（該直該不過點O），則△ABC周長的最小值是（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  5

  4

• C．

  3

  2

• D．

  9

  4

Answer 1

分析：利用三點共線的性質，可得a+b=1，再利用余弦定理結合基本不等式可求c的最小值，從而可得結論．

解答：解：∵

OD

=a

OE

+b

OF

，且D、E、F三點共線（該直該不過點O），
∴a+b=1（a＞0，b＞0），∴ab≤(

a+b

2

)2=

1

4

∵c²=a²+b²-2abcosC，C=

π

3

，
∴c²=1-3ab≥1-

3

4

=

1

4

∴當且僅當a=b=

1

2

時，c取得最小值

1

2

∴△ABC周長的最小值是

3

2

故選C．

點評：本題考查向量知識的運用，考查余弦定理，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．