Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．
（1）求證：PC⊥AB；
（2）求二面角B-AP-C的大小的余弦．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質

專題：空間角,空間向量及應用

分析：（1）利用線面垂直的性質證明PC⊥平面ABC，即可證明PC⊥AB；
（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法即可求二面角B-AP-C的大小的余弦

解答： 解：（1）∵AC=BC=2，AP=BP，∴△APC≌△BPC．
又PC⊥AC，∴PC⊥BC．
∵AC∩BC=C，
∴PC⊥平面ABC．
∵AB?平面ABC，
∴PC⊥AB．
（2）如圖，以C為原點建立空間直角坐標系C-xyz．
則C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）．
設P（0，0，t）．
∵PB=AB=2

2

，
∴t=2，P（0，0，2），
取AP中點E，連結BE，CE．
AC=PC，AB=BP，
CE⊥AP，BE⊥AP．
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．
∵E（0，1，1），

EC

=(0，-1，-1)，

EB

=(2，-1，-1)，
∴cos∠BEC=

EC • EB

| EC || EB |

=

2

2 • 6

=

3

3

．

點評：本題主要考查空間直線和平面垂直的判斷，以及空間二面角和距離的計算，利用向量法是解決本題的關鍵．